מישור משופע: פירוק כוחות, חיכוך ותאוצה

• מכניקה
• כוחות וחוקי ניוטון
• 8 דקות קריאה

איך מפרקים את כוח הכובד על מישור משופע, למה הכוח הנורמלי קטן מהמשקל, ומתי הגוף יחליק. עם שרטוט כוחות ושני תרגילים פתורים.

התשובה בקצרה

על גוף על מישור משופע פותרים בעזרת פירוק כוח הכובד לשני רכיבים:

1. פירוק כוח הכובד: רכיב לאורך המישור, mg·sinθ, ורכיב ניצב למישור, mg·cosθ.
2. הכוח הנורמלי: N = mg·cosθ, כשאין כוחות נוספים בניצב למישור.
3. התאוצה: בלי חיכוך a = g·sinθ. עם חיכוך קינטי, כשהגוף מחליק במורד, a = g(sinθ − μ·cosθ).

למי זה מיועד: לתלמידי תיכון שלומדים מכניקה לבגרות. כדאי להכיר קודם את החוק השני של ניוטון, לדעת לשרטט תרשים כוחות, ולפרק כוח לרכיבים בעזרת וקטורים.

אילו כוחות פועלים על גוף על מישור משופע

מישור משופע הוא משטח ישר שנטוי בזווית ביחס לקרקע, כמו רמפה או מגלשה. זו אחת השאלות הבסיסיות בדינמיקה, ועל גוף שמונח עליו פועלים בדרך כלל שלושה כוחות:

• כוח הכובד: תמיד אנכי כלפי מטה, ולא בניצב למישור.
• הכוח הנורמלי: הכוח של המשטח על הגוף, תמיד ניצב למשטח.
• כוח החיכוך: לאורך המשטח, נגד כיוון התנועה או נגד הכיוון שבו הגוף היה מחליק.

הכוח הנורמלי והחיכוך נוטים יחד עם המישור, וכוח הכובד אנכי. לכן בוחרים ציר אחד לאורך המישור וציר אחד בניצב לו. בניצב למישור הגוף לא זז, ולאורך המישור הוא יכול להאיץ.

פירוק כוח הכובד לרכיבים

בצירים האלה רק כוח הכובד לא מונח על אחד הצירים, ולכן מפרקים אותו:

הזווית בין כוח הכובד לניצב למישור שווה לזווית השיפוע, כמו שרואים בשרטוט. לכן הרכיב הניצב, הצמוד לזווית, מקבל קוסינוס, והרכיב לאורך המישור מקבל סינוס. בדיקה מהירה: במישור שטוח הרכיב לאורך המישור מתאפס, ובמישור אנכי כל המשקל פועל לאורכו, כמו בנפילה חופשית.

בניצב למישור הגוף לא זז, ולכן הכוח הנורמלי מאזן בדיוק את הרכיב הניצב:

הנוסחה נכונה כשאין כוחות נוספים בניצב למישור. אם לוחצים על הגוף או מושכים אותו בחבל נטוי, מוסיפים למשוואה את הרכיבים הניצבים שלהם.

תאוצה על מישור משופע בלי חיכוך

על מישור חלק, לאורך המישור פועל רק הרכיב m·g·sinθ. לפי החוק השני, m·a = m·g·sinθ, והמסה מצטמצמת:

התאוצה לא תלויה במסה: ארגז כבד וקופסה קלה מחליקים על מישור חלק באותה תאוצה. ככל שהמישור תלול יותר, התאוצה גדולה יותר.

תרגיל פתור: מישור משופע בלי חיכוך

הנתונים: גוף במסה 2 קילוגרם משתחרר ממנוחה על מישור משופע חלק, בלי חיכוך, בזווית של 37 מעלות. נתון: sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8, g = 10 m/s².
השאלה: מה הכוח הנורמלי שהמישור מפעיל על הגוף, ומה התאוצה שלו?

1. רכיב הכובד לאורך המישור: F_∥ = 2 · 10 · 0.6 = 12 N
2. הכוח הנורמלי מאזן את הרכיב הניצב: N = 2 · 10 · 0.8 = 16 N
3. התאוצה, לפי החוק השני: a = 12 / 2 = 6 m/s². זה בדיוק g · sin 37° = 10 · 0.6.

התשובה: הכוח הנורמלי הוא 16 ניוטון, פחות מהמשקל, שהוא 20 ניוטון. הגוף מאיץ ב־6 מטר לשנייה בריבוע. N = 16 N · a = 6 m/s²

מישור משופע עם חיכוך

כשהגוף מחליק במורד, כוח החיכוך הקינטי פועל במעלה המישור, נגד התנועה. גודלו הוא מקדם החיכוך כפול הכוח הנורמלי, f = μ·m·g·cosθ, ולכן:

גם כאן המסה מצטמצמת. הנוסחה מתאימה רק לגוף שמחליק במורד. לגוף שנע במעלה המישור, ראו בשאלות הנפוצות.

תרגיל פתור: מישור משופע עם חיכוך

הנתונים: אותו גוף, 2 קילוגרם, על מישור בזווית של 37 מעלות, אבל עכשיו מקדם החיכוך הקינטי הוא 0.25. הגוף משתחרר ממנוחה ומחליק במורד. נתון: sin 37° = 0.6, cos 37° = 0.8, g = 10 m/s².
השאלה: מה התאוצה של הגוף? ובאיזו מהירות הוא נע אחרי שהחליק 8 מטר?

1. הכוח הנורמלי, ואחריו כוח החיכוך במעלה המישור: N = 2 · 10 · 0.8 = 16 N → f = 0.25 · 16 = 4 N
2. הכוח השקול במורד: 12 − 4 = 8 N → a = 8 / 2 = 4 m/s²
3. אותה תוצאה מהנוסחה: a = 10 · (0.6 − 0.25 · 0.8) = 10 · (0.6 − 0.2) = 4 m/s²
4. המהירות אחרי 8 מטר ממנוחה, בנוסחת קינמטיקה בלי זמן: v² = 2 · a · d = 2 · 4 · 8 = 64 → v = 8 m/s

התשובה: החיכוך מוריד את התאוצה מ־6 ל־4 מטר לשנייה בריבוע. אחרי 8 מטר הגוף נע במהירות של 8 מטר לשנייה. a = 4 m/s² · v = 8 m/s

אותה מהירות יוצאת גם ממשפט עבודה ואנרגיה: 8 N · 8 m = 64 J = ½ · 2 · v².

מתי גוף על מישור משופע נשאר במנוחה

גוף במנוחה מוחזק בחיכוך סטטי, שמאזן את הרכיב לאורך המישור. לחיכוך הזה יש ערך מרבי, μ_s·N, והגוף נשאר במקום כל עוד m·g·sinθ ≤ μ_s·m·g·cosθ. מחלקים ב־m·g·cosθ:

גם התנאי הזה לא תלוי במסה. בזווית של 37 מעלות, עם הערכים המעוגלים, tan 37° = 0.6 / 0.8 = 0.75, ולכן גוף יישאר שם במנוחה רק אם מקדם החיכוך הסטטי הוא 0.75 לפחות.

מישור משופע מסביבנו

• רמפה להעמסה

  במקום להרים ארגז כבד למשאית, דוחפים אותו במעלה רמפה. ברמפה חלקה מספיק כוח שמאזן את הרכיב לאורך המישור, והוא קטן מהמשקל.

• מגלשה בגן השעשועים

  במגלשה תלולה מחליקים מהר יותר. במגלשה מתונה עם חיכוך גדול אפשר להיתקע באמצע, כי הטנגנס של הזווית קטן ממקדם החיכוך הקינטי, ולכן מי שמחליק מאט ונעצר.

• מכונית שחונה בעלייה

  בלם היד מונע מהגלגלים להסתובב, והחיכוך הסטטי בין הצמיגים לכביש מאזן את הרכיב של כוח הכובד לאורך הכביש.

שאלות נפוצות

מה זה מישור משופע בפיזיקה?

משטח ישר שנטוי בזווית ביחס לקרקע. פותרים בעזרת פירוק כוח הכובד לרכיב לאורך המישור ולרכיב ניצב לו.

מה משתנה כשהגוף נע במעלה מישור משופע עם חיכוך?

החיכוך פועל עכשיו במורד, יחד עם הרכיב של כוח הכובד, ושניהם מאטים את הגוף: a = g(sinθ + μ·cosθ). בזווית של 37 מעלות ועם מקדם חיכוך 0.25 יוצא 8 מטר לשנייה בריבוע.

איך יודעים אם גוף על מישור משופע עם חיכוך יחליק?

אם tanθ ≤ μ_s, הגוף נשאר במנוחה. אם הטנגנס של הזווית גדול יותר, הוא מתחיל להחליק.

רוצים לתרגל מישור משופע עד רמת בגרות?

בקורס המכניקה לבגרות כל נושא מוסבר בסרטון, ולכל תרגיל בחוברת יש סרטון פתרון מלא. משלמים פעם אחת, והגישה ללא הגבלת זמן.

לקורס המכניקה

או מתחילים בחינם: חוברת המכניקה, להורדה