חוק הכבידה העולמי

• מכניקה
• כוחות וחוקי ניוטון
• 8 דקות קריאה

אותו כוח שמפיל תפוח מהעץ מחזיק את הירח במסלול סביב כדור הארץ. ניוטון הראה שזה כוח אחד, וכתב לו נוסחה אחת. כאן תראו את הנוסחה, למה הכוח נחלש כל כך מהר עם המרחק, ואיך ממנה מקבלים את g.

התשובה בקצרה

חוק הכבידה העולמי של ניוטון אומר שכל שתי מסות ביקום מושכות זו את זו:

1. הנוסחה: F = G·m₁·m₂/r². הכוח גדל עם כל אחת מהמסות, וקטן עם ריבוע המרחק בין המרכזים.
2. G הוא קבוע הכבידה: בערך 6.67 כפול 10 בחזקת מינוס 11, בניוטון כפול מטר בריבוע לקילוגרם בריבוע. הוא זעיר, ולכן הכבידה מורגשת רק כשלפחות אחת המסות עצומה.
3. ריבוע הפוך: כשהמרחק גדל פי 2, הכוח קטן פי 4. כשהמרחק גדל פי 10, הכוח קטן פי 100.

למי זה מיועד: לתלמידי תיכון שלומדים מכניקה, ולתלמידי כיתה ט׳ שמגיעים לפרק על תנועת כוכבי הלכת. כדאי להכיר קודם את כוח המשיכה ואת ההבדל בין מסה למשקל.

מה אומר החוק

אייזק ניוטון פרסם את חוק הכבידה העולמי ב־1687, בספר “העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע”. הרעיון שלו היה חדש: הכוח שמושך את התפוח לקרקע הוא אותו כוח שמחזיק את הירח ואת כוכבי הלכת במסלול. לכן החוק נקרא “עולמי”. הוא חל על כל שתי מסות, בכל מקום.

שימו לב לשני דברים. ראשית, הכוח הדדי: כדור הארץ מושך אתכם, ואתם מושכים את כדור הארץ באותו כוח בדיוק, בדיוק כמו בחוק השלישי של ניוטון. כדור הארץ פשוט כבד כל כך שהתאוצה שלו זניחה. שנית, את המרחק מודדים בין המרכזים. על פני כדור הארץ, המרחק הוא רדיוס כדור הארץ.

את G מדדו לראשונה במעבדה רק ב־1798. הנרי קוונדיש תלה על חוט דק מוט עם שני כדורי עופרת קטנים, ומדד כמה החוט מתפתל כשמקרבים אליהם כדורי עופרת גדולים. מאז אפשר לחשב גם את המסה של כדור הארץ.

למה דווקא ריבוע המרחק

אפשר לדמיין את הכבידה כמו אור שמתפזר מנורה לכל הכיוונים. במרחק כפול, אותה השפעה מתפרסת על שטח כדור גדול פי ארבעה, ולכן כל נקודה מקבלת רבע. במרחק פי שלושה השטח גדול פי תשעה, וכל נקודה מקבלת תשיעית.

מאיפה מגיע g

על גוף במסה m שעומד על פני כדור הארץ פועל כוח G · M · m / R², כאשר M היא מסת כדור הארץ ו־R הרדיוס שלו. אותו כוח הוא גם המשקל, m·g. משווים ביניהם, והמסה של הגוף מצטמצמת:

מציבים את המספרים ומקבלים כ־9.8 מטר לשנייה בריבוע, הערך שמודדים בפועל. בתרגילים בבית הספר מעגלים אותו ל־10. מאותה נוסחה רואים גם למה כל הגופים נופלים באותה תאוצה: המסה של הגוף לא מופיעה בה.

המרחק ממרכז כדור הארץ	דוגמה	תאוצת הכובד בערך
רדיוס אחד	על פני כדור הארץ	9.8 m/s²
כ־1.06 רדיוסים	תחנת החלל, כ־400 קילומטר מעל הקרקע	8.7 m/s²
2 רדיוסים	כ־6,400 קילומטר מעל הקרקע	2.45 m/s²
10 רדיוסים	כ־57,000 קילומטר מעל הקרקע	0.098 m/s²
כ־60 רדיוסים	המרחק של הירח	0.0027 m/s²

התפוח והירח

הירח נמצא בערך 60 רדיוסים של כדור הארץ ממרכזו. לפי חוק הריבוע ההפוך, תאוצת הכובד שם צריכה להיות קטנה פי 3,600 מאשר על הקרקע. ניוטון השווה את זה לתאוצה של הירח בתנועה המעגלית שלו סביב כדור הארץ, שאפשר לחשב מהמרחק ומזמן ההקפה, ומצא התאמה טובה. זו הייתה ההוכחה שהתפוח והירח נשלטים על ידי אותו כוח. התרגיל הפתור עושה בדיוק את החשבון הזה.

תרגיל פתור

הנתונים: מסת כדור הארץ 5.97 · 10²⁴ קילוגרם, מסת הירח 7.35 · 10²² קילוגרם, והמרחק בין המרכזים 3.84 · 10⁸ מטר. G = 6.67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg².
השאלה: באיזה כוח מושך כדור הארץ את הירח? מה התאוצה של הירח בגלל הכוח הזה? ובכמה היא קטנה מ־g על פני כדור הארץ?

1. מציבים בנוסחה: F = 6.67·10⁻¹¹ · 5.97·10²⁴ · 7.35·10²² / (3.84·10⁸)²
2. המונה: 6.67·10⁻¹¹ · 5.97·10²⁴ · 7.35·10²² ≈ 2.93·10³⁷ המכנה: (3.84·10⁸)² ≈ 1.47·10¹⁷
3. הכוח: F ≈ 2.93·10³⁷ / 1.47·10¹⁷ ≈ 2·10²⁰ N
4. התאוצה של הירח, לפי החוק השני של ניוטון: a = F / m = 2·10²⁰ / 7.35·10²² ≈ 0.0027 m/s²
5. היחס ל־g: 9.8 / 0.0027 ≈ 3,600 = 60² בדיוק כמו שחוק הריבוע ההפוך צופה.

התשובה: כדור הארץ מושך את הירח בכוח של כ־2 כפול 10 בחזקת 20 ניוטון. התאוצה של הירח היא כ־0.0027 מטר לשנייה בריבוע, קטנה פי 3,600 מ־g, כי הירח רחוק פי 60 ממרכז כדור הארץ. F ≈ 2·10²⁰ N · a ≈ 0.0027 m/s²

כבידה מסביבנו

• גאות ושפל

  הירח מושך חזק יותר את הצד של כדור הארץ שקרוב אליו, וחלש יותר את הצד הרחוק. ההבדל הזה, שנובע מהריבוע ההפוך, מותח את האוקיינוסים ויוצר שתי בליטות מים. כדור הארץ מסתובב דרכן, ולכן ברוב החופים יש פעמיים ביום גאות ופעמיים שפל.

• לוויינים ותחנת החלל

  בגובה של תחנת החלל, כ־400 קילומטר, הכבידה עדיין כ־90 אחוז ממה שעל הקרקע. האסטרונאוטים מרחפים כי התחנה והם נופלים יחד סביב כדור הארץ כל הזמן, לא כי אין שם כבידה.

• המשקל על הירח

  על הירח תאוצת הכובד היא כ־1.6 מטר לשנייה בריבוע, בערך שישית מכדור הארץ. אפשר לחשב את זה מאותה נוסחה, עם המסה והרדיוס של הירח.

שאלות נפוצות

מה אומר חוק הכבידה העולמי?

שכל שתי מסות מושכות זו את זו בכוח שגדל עם המכפלה של המסות, וקטן עם ריבוע המרחק בין המרכזים שלהן: F = G·m₁·m₂/r².

מה זה G, קבוע הכבידה?

מספר קבוע שקובע את עוצמת הכבידה: בערך 6.67 כפול 10 בחזקת מינוס 11 ניוטון כפול מטר בריבוע לקילוגרם בריבוע. הוא נמדד לראשונה במעבדה ב־1798, בניסוי של הנרי קוונדיש.

מה ההבדל בין G ל־g?

G הוא קבוע אוניברסלי, זהה בכל מקום ביקום. g היא תאוצת הכובד במקום מסוים, למשל 9.8 מטר לשנייה בריבוע על פני כדור הארץ. הקשר ביניהם: g = G·M/R².

למה אנחנו לא מרגישים משיכה בין שני אנשים?

כי הכוח זעיר. בין שני אנשים במסה 50 קילוגרם, במרחק מטר זה מזה, הכוח הוא כ־1.7·10⁻⁷ ניוטון. זה בערך המשקל של גרגר חול קטן אחד.

האם יש מקום שבו אין כבידה בכלל?

לא. הכוח נחלש עם המרחק, אבל אף פעם לא מתאפס. גם בתחנת החלל יש כבידה חזקה. מה שיוצר את תחושת הריחוף הוא שהתחנה והאסטרונאוטים נופלים יחד.

רוצים לתרגל כבידה עד רמת בגרות?

בקורס המכניקה יש פרק על כוח הכבידה, ובקורס כיתה ט׳ יש פרק על תנועה מעגלית ומסלולי כוכבי הלכת, עם קבוע הכבידה האוניברסלי. כל נושא מוסבר בסרטון, ולכל תרגיל יש פתרון מלא. משלמים פעם אחת, והגישה ללא הגבלת זמן.

לקורס המכניקה

או מתחילים בחינם: חוברת המכניקה, להורדה