זריקה משופעת

• מכניקה
• תנועה
• 8 דקות קריאה

בעיטה לשער, זריקה לסל, סילון מים ממזרקה: בכולם הגוף יוצא בזווית, עולה, עוצר לרגע בשיא ויורד. כאן תראו איך מפרקים את התנועה לשני כיוונים, מה הנוסחאות לגובה, לזמן ולטווח, ולמה דווקא 45 מעלות.

התשובה בקצרה

זריקה משופעת היא תנועה של גוף שנזרק במהירות שיש לה גם רכיב אופקי וגם רכיב אנכי, ומשם נע רק בהשפעת כוח הכובד:

1. מפרקים את המהירות לשניים: הרכיב האופקי הוא v₀·cosθ, והרכיב האנכי הוא v₀·sinθ, כאשר θ היא זווית הזריקה מעל הקו האופקי.
2. בכיוון האופקי המהירות קבועה, ובכיוון האנכי זו זריקה כלפי מעלה: הגוף מאט, נעצר בשיא וחוזר למטה.
3. הטווח הכי גדול ב־45 מעלות: כשהגוף נזרק ונוחת באותו גובה ואין התנגדות אוויר. זוויות שמשלימות זו את זו ל־90 מעלות, כמו 30 ו־60, נותנות אותו טווח.

למי זה מיועד: לתלמידי תיכון שלומדים מכניקה. כדאי להכיר קודם את הזריקה האופקית, כי כאן משתמשים באותו רעיון בדיוק, ואת התנועה האנכית של גוף שנזרק למעלה. צריך גם להכיר סינוס וקוסינוס, כמו בפירוק של וקטורים.

מה זו זריקה משופעת

בזריקה אופקית הגוף יוצא במהירות אופקית בלבד, ומיד מתחיל לרדת. בזריקה משופעת, שנקראת גם זריקה בזווית, הגוף יוצא בזווית מעל הקו האופקי. בהתחלה הוא עולה ומתקדם, בשיא הוא מפסיק לעלות, ואז יורד ונוחת. המסלול שלו הוא פרבולה שלמה, ולא חצי פרבולה כמו בזריקה אופקית.

גם כאן פועל על הגוף רק כוח הכובד, כלפי מטה. בכל העמוד מניחים שאין התנגדות אוויר, ומשתמשים בתאוצת כובד של 10 מטר לשנייה בריבוע.

מפרקים את מהירות הזריקה

הצעד הראשון בכל תרגיל: לפרק את מהירות הזריקה v₀ לשני רכיבים, בעזרת הזווית θ. זה פירוק רגיל של וקטור לרכיב אופקי ולרכיב אנכי.

מכאן כל כיוון מתנהג לבד. אופקית אין כוח, ולכן הגוף עובר מרחקים שווים בזמנים שווים. אנכית הגוף מתנהג בדיוק כמו כדור שנזרק ישר למעלה במהירות v₀ᵧ: הוא מאט ב־10 מטר לשנייה בכל שנייה, נעצר בשיא, וחוזר למטה.

הנוסחאות: שיא, זמן וטווח

בשיא המהירות האנכית היא אפס. מציבים vᵧ = 0 ומקבלים את הזמן עד השיא. מציבים את הזמן הזה במשוואת הגובה ומקבלים את הגובה המרבי. כשהגוף נוחת באותו גובה שממנו נזרק, הירידה לוקחת בדיוק אותו זמן כמו העלייה, ולכן זמן התעופה כפול. הטווח הוא המהירות האופקית כפול זמן התעופה.

שימו לב לתנאי: הנוסחאות של T ושל R נכונות רק כשהגוף נוחת באותו גובה שממנו נזרק. אם הוא נזרק מגג ונוחת על הקרקע, פותרים את משוואת הגובה עם הגובה של הקרקע, כמו בזריקה אופקית.

זווית הזריקה	גובה מרבי	זמן תעופה	טווח
15°	1.3 מטר	1.0 s	20 מטר
30°	5 מטר	2.0 s	34.6 מטר
45°	10 מטר	2.8 s	40 מטר
60°	15 מטר	3.5 s	34.6 מטר
75°	18.7 מטר	3.9 s	20 מטר

הטבלה מראה זריקות במהירות 20 מטר לשנייה. ככל שהזווית גדלה, הגוף עולה גבוה יותר ונשאר באוויר יותר זמן. אבל הטווח גדל רק עד 45 מעלות, ואחר כך קטן שוב.

למה 45 מעלות

בנוסחת הטווח מופיע sin 2θ. הסינוס הכי גדול, 1, כשהזווית שבתוכו היא 90 מעלות, כלומר כש־θ היא 45 מעלות. אפשר להבין את זה גם בלי נוסחה: בזווית נמוכה הגוף מהיר אופקית, אבל נוחת מהר מדי. בזווית גבוהה הוא נשאר באוויר הרבה זמן, אבל מתקדם לאט. 45 מעלות הן האיזון הכי טוב בין השניים.

ומה עם 30 ו־60 מעלות? sin 60° = sin 120°, ולכן שתי הזוויות נותנות אותו טווח בדיוק. זה נכון לכל שתי זוויות שסכומן 90 מעלות. במציאות, כשיש התנגדות אוויר או כשנקודת הזריקה גבוהה מנקודת הנחיתה, הזווית הטובה ביותר נמוכה מ־45 מעלות.

תרגיל פתור

הנתונים: כדורגלן בועט בכדור מהקרקע במהירות 25 מטר לשנייה, בזווית של 53 מעלות מעל הקרקע. נתון: sin 53° = 0.8, cos 53° = 0.6, g = 10 m/s².
השאלה: מה הגובה המרבי של הכדור? כמה זמן הוא באוויר? באיזה מרחק הוא נוחת? ומה המהירות שלו בשיא?

1. מפרקים את המהירות: v₀ₓ = 25 · 0.6 = 15 m/s · v₀ᵧ = 25 · 0.8 = 20 m/s
2. הזמן עד השיא, כשהמהירות האנכית מתאפסת: t_top = 20 / 10 = 2 s
3. הגובה המרבי: H = 20 · 2 − ½ · 10 · 2² = 40 − 20 = 20 m
4. זמן התעופה, כי הכדור נוחת באותו גובה: T = 2 · 2 = 4 s
5. הטווח: R = 15 · 4 = 60 m בדיקה בנוסחה: R = 25² · sin 106° / 10 = 625 · 0.96 / 10 = 60 m
6. בשיא נשאר רק הרכיב האופקי: v = 15 m/s

התשובה: הכדור עולה לגובה 20 מטר, נמצא באוויר 4 שניות ונוחת 60 מטר מנקודת הבעיטה. בשיא המהירות שלו 15 מטר לשנייה, ולא אפס. H = 20 m · T = 4 s · R = 60 m · v_top = 15 m/s

זריקה משופעת מסביבנו

• בעיטה לשער

  שוער שבועט את הכדור למרכז המגרש בועט בזווית גבוהה, כדי שהכדור יעבור מעל השחקנים. בעיטה בזווית נמוכה מהירה יותר, אבל לא מגיעה רחוק כמו בעיטה באותה עוצמה בזווית של כ־45 מעלות.

• זריקה לסל

  כדורסלן שזורק לסל בוחר זווית ומהירות כך שהשיא של הכדור יהיה מעל הטבעת, והכדור ייכנס אליה בדרך למטה. זריקה בזווית גבוהה יותר נכנסת לטבעת בזווית תלולה יותר.

• מזרקת מים

  כל טיפה שיוצאת מצינור נטוי נעה בזריקה משופעת, ולכן הסילון כולו נראה כמו פרבולה. משנים את הזווית של הצינור, ונקודת הנחיתה של המים זזה.

שאלות נפוצות

מה זו זריקה משופעת?

תנועה של גוף שנזרק בזווית מעל הקו האופקי, ומשם נע רק בהשפעת כוח הכובד. היא מורכבת מתנועה במהירות קבועה בכיוון האופקי ומזריקה כלפי מעלה בכיוון האנכי.

מה הנוסחה לטווח בזריקה משופעת?

כשהגוף נוחת באותו גובה שממנו נזרק: R = v₀² · sin 2θ / g. בכל מקרה אחר מוצאים את זמן התעופה ממשוואת הגובה, ומכפילים במהירות האופקית.

באיזו זווית הטווח הכי גדול?

ב־45 מעלות, כשאין התנגדות אוויר והזריקה והנחיתה באותו גובה. זוויות שסכומן 90 מעלות, כמו 30 ו־60, נותנות אותו טווח.

מה המהירות בשיא?

המהירות בשיא שווה לרכיב האופקי, v₀·cosθ. רק הרכיב האנכי מתאפס בשיא.

מה ההבדל בין זריקה משופעת לזריקה אופקית?

בזריקה אופקית המהירות ההתחלתית אופקית לגמרי, והגוף מתחיל לרדת מיד. בזריקה משופעת יש למהירות ההתחלתית גם רכיב אנכי, והגוף עולה לפני שהוא יורד. בשתיהן מפרקים את התנועה לשני כיוונים באותה דרך. ראו גם זריקה אופקית.

רוצים לתרגל זריקה בזווית עד רמת בגרות?

בקורס המכניקה, בפרק נפילה חופשית, יש שיעור וידאו על זריקה בזווית, אחרי השיעור על זריקה אופקית. כל תרגיל מגיע עם סרטון פתרון מלא. משלמים פעם אחת, והגישה ללא הגבלת זמן.

לקורס המכניקה

או מתחילים בחינם: חוברת המכניקה, להורדה