מטוטלת

• מכניקה
• תנועה
• 6 דקות קריאה

ממה תלוי הקצב של מטוטלת, למה המשקל שלה לא משנה, ואיך מטוטלת אחת הוכיחה שכדור הארץ מסתובב. עם נוסחה, טבלה, תרגיל פתור וניסוי שאפשר לעשות בבית.

התשובה בקצרה

מטוטלת היא משקולת שתלויה על חוט ומתנדנדת הלוך ושוב:

1. זמן המחזור תלוי באורך החוט: ככל שהחוט ארוך יותר, המטוטלת מתנדנדת לאט יותר. מטוטלת באורך מטר אחד משלימה תנודה בערך בשתי שניות.
2. המסה לא משנה: משקולת כבדה וקלה, על אותו חוט, מתנדנדות באותו קצב. גם גודל התנופה כמעט לא משנה, כל עוד היא קטנה.
3. האנרגיה עוברת מצורה לצורה: בקצוות המשקולת עוצרת לרגע, ולמטה היא הכי מהירה.

למי זה מיועד: לתלמידי תיכון שלומדים מכניקה, ולכל מי שסקרן איך עובד שעון מטוטלת. הנושא הרחב, תנודות של קפיץ ושל מטוטלת, מוסבר בעמוד תנועה הרמונית. כאן מתמקדים במטוטלת עצמה.

מה זו מטוטלת

מטוטלת פשוטה היא משקולת קטנה שתלויה על חוט, מנקודה קבועה. כשהיא תלויה בשקט, היא נמצאת בנקודת שיווי המשקל, ישר מתחת לנקודת התלייה. מזיזים אותה הצידה ומשחררים, והיא מתחילה לנוע בקשת, הלוך ושוב.

מה מחזיר אותה כל פעם למרכז? כוח המשיכה. כשהמשקולת בצד, חלק מהמשקל שלה מושך אותה בחזרה לאורך הקשת. היא מגיעה למרכז במהירות, ממשיכה בגלל ההתמדה לצד השני, נעצרת שם, וחוזרת. תנודה שלמה אחת, מצד אחד לצד השני ובחזרה, נקראת מחזור.

זמן המחזור של מטוטלת

שימו לב מה אין בנוסחה: אין בה את המסה של המשקולת, ואין בה את גודל התנופה. משקולת כבדה נמשכת חזק יותר, אבל גם קשה יותר להזיז אותה, ושני האפקטים מבטלים זה את זה. זה אותו סיפור כמו בנפילה חופשית, שבה גוף כבד וגוף קל נופלים באותה תאוצה.

הנוסחה מדויקת כשהתנופה קטנה. עד זווית של כ־15 מעלות מהאנך, הטעות קטנה מחצי אחוז. בתנופות גדולות יותר, המחזור מתארך מעט.

אורך החוט	זמן מחזור	דוגמה
25 סנטימטר	≈ 1 s	מטוטלת קטנה על שולחן
1 מטר	≈ 2 s	שעון מטוטלת גבוה
4 מטר	≈ 4 s	נדנדה גדולה עם שרשראות ארוכות
67 מטר	≈ 16 s	מטוטלת פוקו בפריז

הטבלה מראה חוק פשוט: כדי להכפיל את זמן המחזור, צריך חוט ארוך פי ארבעה. זה בגלל השורש בנוסחה.

אנרגיה במטוטלת

מטוטלת היא אחת הדוגמאות הכי טובות לשימור אנרגיה. כשמרימים את המשקולת לגובה h ומשחררים, יש לה אנרגיית גובה. בדרך למטה הגובה יורד והמהירות עולה, והאנרגיה הופכת לאנרגיית תנועה. בנקודה הנמוכה כל האנרגיה היא אנרגיית תנועה, ולכן שם המהירות הכי גדולה. בדרך למעלה התהליך מתהפך.

אם אין חיכוך, המשקולת חוזרת בדיוק לאותו גובה בצד השני. במציאות, חיכוך עם האוויר ובנקודת התלייה לוקח מעט אנרגיה בכל תנודה, והתנופה הולכת וקטנה עד שהמטוטלת נעצרת. לכן בשעון מטוטלת יש מנגנון שנותן לה דחיפה קטנה בכל מחזור.

תרגיל פתור

הנתונים: בשעון מטוטלת, המטוטלת צריכה להשלים מחזור בדיוק בשתי שניות, כך שכל חצי מחזור, מצד לצד, נמשך שנייה אחת. g = 10 m/s².
השאלה: מה אורך המטוטלת? מה יהיה זמן המחזור של אותה מטוטלת על הירח, שם g = 1.6 m/s²? ומה המהירות של המשקולת בנקודה הנמוכה, אם היא משוחררת מגובה 20 סנטימטר מעל הנקודה הזו?

1. מבודדים את L מנוסחת זמן המחזור: L = g · T² / (4π²) = 10 · 4 / 39.5 ≈ 1.01 m
2. על הירח, עם אותו אורך: T = 2π · √(1.01 / 1.6) ≈ 2π · 0.8 ≈ 5 s
3. שימור אנרגיה, אנרגיית הגובה הופכת לאנרגיית תנועה: m·g·h = ½·m·v² → v = √(2·g·h) = √(2 · 10 · 0.2) = 2 m/s

התשובה: המטוטלת באורך של כמטר אחד. על הירח אותו שעון היה מפגר מאוד: מחזור של כחמש שניות במקום שתיים. ובנקודה הנמוכה המשקולת נעה ב־2 מטר לשנייה, בלי קשר למסה שלה. L ≈ 1 m · T_moon ≈ 5 s · v = 2 m/s

ניסוי בבית: מודדים את g

צריך חוט, משקולת קטנה כמו אום או מחזיק מפתחות, סרט מדידה ושעון עצר בטלפון.

1. קושרים את המשקולת לחוט ותולים אותו ממקום יציב, למשל ממשקוף. מודדים את האורך מנקודת התלייה עד מרכז המשקולת.
2. מזיזים את המשקולת מעט הצידה, לא יותר מכמה סנטימטרים, ומשחררים.
3. מודדים את הזמן של 10 מחזורים שלמים, ומחלקים ב־10. כך הטעות של הלחיצה על השעון מתחלקת על עשר תנודות.
4. מחשבים: g = 4π² · L / T²

לדוגמה, חוט באורך 50 סנטימטר, ו־10 מחזורים שנמשכו 14.1 שניות. זמן המחזור 1.41 שניות, ו־g יוצא בערך 9.9 מטר לשנייה בריבוע, קרוב מאוד לערך האמיתי, 9.8.

מטוטלות מסביבנו

• שעון מטוטלת

  גלילאו גליליי שם לב בסוף המאה ה־16 שזמן המחזור של מטוטלת כמעט לא תלוי בגודל התנופה. כריסטיאן הויגנס בנה על זה, ב־1656, את שעון המטוטלת הראשון, שהיה מדויק הרבה יותר מכל שעון שקדם לו.

• נדנדה

  נדנדה היא מטוטלת גדולה. כדי לנדנד מישהו גבוה, דוחפים בקצב של הנדנדה עצמה, בדיוק כשהיא מתחילה לרדת. דחיפה בקצב אחר רק מפריעה.

• מטוטלת פוקו

  ב־1851 תלה ליאון פוקו כדור של 28 קילוגרם על חוט באורך 67 מטר, מהכיפה של הפנתאון בפריז. כיוון התנודה הסתובב לאט במשך השעות, כי כדור הארץ הסתובב מתחתיה. זו הייתה הדגמה ישירה לסיבוב של כדור הארץ.

שאלות נפוצות

מה זו מטוטלת?

משקולת שתלויה על חוט או מוט מנקודה קבועה, ומתנדנדת הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל שלה. כוח המשיכה הוא שמחזיר אותה כל פעם למרכז.

מה הנוסחה לזמן המחזור של מטוטלת?

זמן המחזור שווה ל־2π כפול השורש של אורך החוט חלקי תאוצת הכובד: T = 2π · √(L / g). הנוסחה מדויקת לתנופות קטנות, עד כ־15 מעלות.

ממה לא תלוי זמן המחזור של מטוטלת?

מהמסה של המשקולת, ובתנופות קטנות גם לא מגודל התנופה. הוא תלוי רק באורך החוט ובעוצמת הכבידה.

איך מקצרים את זמן המחזור?

מקצרים את החוט. כדי שהמטוטלת תתנדנד פי שניים מהר יותר, צריך חוט קצר פי ארבעה. כך מכוונים שעון מטוטלת שמפגר: מרימים מעט את המשקולת.

רוצים לתרגל מטוטלות עד רמת בגרות?

בקורס המכניקה יש פרק שלם על תנועה הרמונית, כולל מטוטלת וקפיץ. לכל נושא יש שיעור וידאו, ולכל תרגיל בחוברת יש סרטון פתרון מלא. משלמים פעם אחת, והגישה ללא הגבלת זמן.

לקורס המכניקה

או מתחילים בחינם: חוברת המכניקה, להורדה