העתק ודרך: מה ההבדל ולמה זה משנה בתרגילים

• כיתה ט’ ומכניקה
• תנועה
• 6 דקות קריאה

דרך היא כמה הלכתם. העתק הוא כמה התרחקתם ובאיזה כיוון. ההבדל הקטן הזה קובע אם התשובה בתרגיל נכונה, ובמיוחד כשמחשבים מהירות ממוצעת.

התשובה בקצרה

דרך היא האורך של כל המסלול שהגוף עבר. היא תמיד חיובית ואין לה כיוון.

העתק הוא חץ ישר מנקודת ההתחלה לנקודת הסוף. יש לו גודל וכיוון, כלומר הוא וקטור. מי שהלך ברחוב וחזר הביתה עבר דרך, אבל ההעתק שלו הוא אפס.

למי זה מיועד: לתלמידי כיתה ט׳ שלומדים וקטורים ותנועה, ולתלמידי מכניקה לבגרות. כדאי להכיר קודם את נוסחת המהירות ואת חיבור וקטורים.

ההבדל בין דרך להעתק

דמיינו שאתם יוצאים מהבית, הולכים 300 מטרים צפונה, פונים ימינה והולכים עוד 400 מטרים מזרחה. כמה עברתם? יש שתי תשובות נכונות, והן עונות על שתי שאלות שונות.

• הדרך עונה על השאלה “כמה צעדתי”. מחברים את כל הקטעים: 300 ועוד 400, כלומר 700 מטרים. לדרך אין כיוון, והיא רק גדלה עם הזמן.
• ההעתק עונה על השאלה “כמה התרחקתי מנקודת ההתחלה, ולאיזה כיוון”. הוא תלוי רק בנקודת ההתחלה ובנקודת הסוף, ולא במסלול שביניהן.

בגלל זה ההעתק אף פעם לא גדול מהדרך. הם שווים רק כשהגוף נע בקו ישר ולא חוזר אחורה.

תרגיל פתור: הליכה צפונה ומזרחה

השאלה: נועה הולכת 300 מטרים צפונה ואחר כך 400 מטרים מזרחה. כל ההליכה נמשכת 10 דקות. מה הדרך, מה ההעתק, ומה הכיוון שלו?

שלב 1, הדרך: 300 + 400 = 700 m.

שלב 2, גודל ההעתק: שני הקטעים ניצבים זה לזה, ולכן ההעתק הוא היתר במשולש ישר זווית. לפי משפט פיתגורס: √(300² + 400²) = √250,000 = 500 m.

שלב 3, הכיוון: הזווית מכיוון הצפון מקיימת tan θ = 400 / 300, ולכן θ ≈ 53°. ההעתק מצביע 53 מעלות מזרחה מהצפון.

שלב 4, מה יוצא בזמן: 10 דקות הן 600 שניות. המהירות הממוצעת לפי הדרך היא 700 / 600 ≈ 1.17 m/s, ולפי ההעתק 500 / 600 ≈ 0.83 m/s.

התשובה: דרך של 700 מטרים, העתק של 500 מטרים בכיוון 53 מעלות מזרחה מהצפון.

מהירות ממוצעת ומהירות וקטורית ממוצעת

מהרגע שיש שני מושגים של “כמה עברתי”, יש גם שני מושגים של מהירות ממוצעת. בספרים קוראים להם לפעמים “מהירות ממוצעת” ו”גודל המהירות הממוצעת”, ולכן חשוב לבדוק מה השאלה מבקשת:

כשמחלקים את הדרך בזמן מקבלים את המהירות הממוצעת שמד המהירות היה מראה בממוצע. כשמחלקים את ההעתק בזמן מקבלים את המהירות הממוצעת כווקטור. בתנועה בקו ישר בלי חזרה אחורה שתי התשובות שוות.

תרגיל פתור: הקפה במסלול ריצה

השאלה: עידו רץ הקפה אחת שלמה במסלול מעגלי שאורכו 400 מטרים, בתוך 80 שניות. מה המהירות הממוצעת שלו לפי הדרך ולפי ההעתק? ומה התשובות אחרי חצי הקפה, אם הוא רץ במהירות אחידה?

שלב 1, הקפה שלמה: הדרך היא 400 מטרים, ולכן 400 / 80 = 5 m/s. עידו חזר לנקודת ההתחלה, ולכן ההעתק הוא אפס, וגם המהירות הממוצעת כווקטור היא אפס.

שלב 2, חצי הקפה: אחרי 40 שניות הוא עבר דרך של 200 מטרים. ההעתק הוא קוטר המעגל: d = 400 / π ≈ 127 m.

שלב 3, המהירויות בחצי ההקפה: לפי הדרך 200 / 40 = 5 m/s, ולפי ההעתק 127 / 40 ≈ 3.2 m/s.

התשובה: בהקפה שלמה 5 מטר לשנייה לפי הדרך ואפס לפי ההעתק. בחצי הקפה 5 מטר לשנייה לפי הדרך וכ־3.2 מטר לשנייה לפי ההעתק.

העתק על קו ישר: פלוס ומינוס

כשהתנועה היא על קו אחד, למשל במסדרון או על כביש ישר, לא צריך חצים באלכסון. בוחרים כיוון חיובי, ומסמנים את ההעתק בפלוס או במינוס.

דוגמה: יעל הולכת 50 מטרים קדימה במסדרון, נזכרת ששכחה מחברת, וחוזרת 20 מטרים אחורה. הדרך היא 50 + 20 = 70 m. ההעתק הוא +50 − 20 = +30 m, כלומר 30 מטרים קדימה מנקודת ההתחלה. אם הייתה חוזרת 80 מטרים אחורה, ההעתק היה −30 m: 30 מטרים מאחורי נקודת ההתחלה.

על אותו רעיון בנויים הגרפים של תנועה: בגרף מקום–זמן, ההעתק הוא ההפרש בין הגובה של הנקודה האחרונה לגובה של הנקודה הראשונה.

איפה רואים את זה בחיים

• הקפה במסלול ריצה

  בתחרות של 400 מטרים, הרצים מסיימים בדיוק בנקודה שבה התחילו. הם עברו דרך ארוכה, אבל ההעתק שלהם בסוף הריצה הוא אפס.

• מרחק אווירי במפה

  אפליקציות ניווט מראות את אורך הנסיעה בכבישים, וזו הדרך. המרחק בקו אווירי בין שתי הערים הוא גודל ההעתק, והוא תמיד קצר יותר או שווה.

• מעלית בבניין

  מעלית שעולה מהקומה הראשונה לעשירית וחוזרת למטה עוברת דרך של עשרות מטרים, אבל ההעתק שלה בסוף הנסיעה הוא אפס.

שאלות נפוצות

האם העתק יכול להיות גדול מהדרך?

לא. ההעתק תמיד קטן מהדרך או שווה לה. הם שווים רק כשהגוף נע בקו ישר בלי לחזור אחורה.

האם העתק יכול להיות שלילי?

בתנועה על קו ישר כן. הסימן מינוס אומר שהגוף נמצא בצד השני של נקודת ההתחלה, ביחס לכיוון שבחרנו כחיובי. הדרך לעומת זאת תמיד חיובית.

מתי ההעתק הוא אפס?

כשהגוף חוזר לנקודה שממנה יצא, לא משנה כמה ארוך היה המסלול.

רוצים לתרגל דרך, העתק ווקטורים עד רמת מבחן?

בקורס הפיזיקה לכיתה ט׳ כל נושא מוסבר בסרטון, ולכל תרגיל בחוברת יש סרטון פתרון מלא. משלמים פעם אחת, והגישה ללא הגבלת זמן.

לקורס כיתה ט׳

או מתחילים בחינם: חוברת כיתה ט׳, להורדה